Вычисление суммы бесконечного числового ряда. Вычислить сумму ряда онлайн
И т.д. – достаточно самых минимальных знаний о числовых рядах . Необходимо понимать, что такое ряд , уметь расписывать его подробно и не округлять глаза после словосочетаний «ряд сходится», «ряд расходится», «сумма ряда». Поэтому, если ваше настроение совсем на нуле, пожалуйста, уделите 5-10 минут статье Ряды для чайников (буквально первые 2-3 страницы), а потом возвращайтесь сюда и смело начинайте решать примеры!
Следует отметить, что в большинстве случаев найти сумму ряда непросто, и этот вопрос обычно решается через функциональные ряды (доживём-доживём:)) . Так, например, сумма популярного артиста выводится через ряды Фурье . В этой связи на практике почти всегда требуется установить сам факт сходимости , но не найти конкретное число (многие, думаю, уже успели это заметить). Однако среди великого множества числовых рядов есть немногочисленные представители, которые позволяют без особых проблем прикоснуться к святая святых даже полному чайнику. И на вводном уроке я приводил пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии , сумма которой легко рассчитывается по известной школьной формуле.
В данной статье мы продолжим рассматривать похожие примеры, кроме того, узнаем строгое определение суммы и попутно познакомимся с некоторыми свойствами рядов. Разомнёмся… да прямо на прогрессиях и разомнёмся:
Пример 1
Найти сумму ряда
Решение
: представим наш ряд в виде суммы двух рядов:
Почему в данном случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух простейших утверждениях:
1) Если сходятся ряды , то будут сходиться и ряды, составленные из сумм или разностей соответствующих членов: . При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся рядах. В нашём примере мы заранее знаем , что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в два ряда.
2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу можно вынести за пределы ряда: , и это не повлияет на его сходимость или расходимость и итоговую сумму. Зачем выносить константу? Да просто чтобы она «не мешалась под ногами». Но иногда бывает выгодно этого и не делать
Чистовое оформление примера выглядит примерно так:
Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии.
Ответ : сумма ряда
Начало решения можно оформить несколько в другом стиле – расписать ряд напрямую и перегруппировать его члены:
Дальше по накатанной.
Пример 2
Найти сумму ряда
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Каких-либо особых изысков здесь нет, но однажды мне попался необычный ряд , который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно, , и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений: .
А сейчас живительный глоток математического анализа, необходимый для решения дальнейших задач:
Что такое сумма ряда?
Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы
ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда :
И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:
Если предел частичных сумм числового ряда равен конечному числу: , то такой ряд называют сходящимся , а само число – суммой ряда . Если же предел бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся .
Вернёмся к демонстрационному ряду и распишем его частичные суммы:
Предел частичных сумм – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна: . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях . Собственно, и сама формула – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана).
Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи : необходимо составить энную частичную сумму ряда и найти предел . Посмотрим, как это осуществляется на практике:
Пример 3
Вычислить сумму ряда
Решение
: на первом шаге нужно разложить общий член ряда
в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов
:
В результате:
Сразу же
полезно провести обратное действие, выполнив тем самым проверку:
Получен общий член ряда в исходном виде, следовательно, разложение в сумму дробей проведено успешно.
Теперь составим частичную сумму ряда . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось:
Как записать совершенно понятно, но чему равен предыдущий член ? В общий член ряда ВМЕСТО
«эн» подставляем :
Почти все слагаемые частичной суммы благополучно сокращаются:
Прямо такие пометки и делаем карандашом в тетради. Чертовски удобно.
Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:
Ответ :
Аналогичный ряд для самостоятельного решения:
Пример 4
Вычислить сумму ряда
Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.
Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения , Даламбера, Коши и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания:
Пример 5
Найти сумму ряда или установить его расходимость
По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма.
Решение
: разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решить квадратное уравнение
:
Таким образом:
Множители лучше расположить в порядке возрастания: .
Выполним промежуточную проверку:
ОК
Таким образом, общий член ряда:
Таким образом:
Не ленимся:
Что и требовалось проверить.
Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину:
Однако если мы запишем в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в сокращениях слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку:
Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =)
В результате всех сокращений получаем:
И, наконец, сумма ряда:
Ответ :
Пример 8
Вычислить сумму ряда
Это пример для самостоятельного решения.
Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей.
Последовательность - высокоупорядоченный числовой набор, образованный по заданному закону. Термин «ряд» обозначает результат сложения членов соответствующей ему последовательности. Для различных числовых последовательностей мы можем найти сумму всех ее членов или общее число элементов до заданного предела.
Последовательность
Под этим термином понимается заданный набор элементов числового пространства. Каждый математический объект задается определенной формулой для определения общего элемента последовательности, а для большинства конечных числовых наборов существуют простые формулы определения их суммы. Наша программа представляет собой сборник из 8 онлайн-калькуляторов, созданных для вычисления сумм наиболее популярных числовых наборов. Начнем с самого простого - натурального ряда, которым мы пользуемся в повседневной жизни для пересчета предметов.
Натуральная последовательность
Когда школьники изучают числа, они первым делом учатся считать предметы, например, яблоки. Натуральные числа естественным образом возникают при счете предметов, и каждый ребенок знает, что 2 яблока - это всегда 2 яблока, не больше и не меньше. Натуральный ряд задается простым законом, который выглядит как n. Формула гласит, что n-ный член числового набора равен n: первый - 1, второй - 2, четыреста пятьдесят первый - 451 и так далее. Результат суммирования n первых натуральных чисел, то есть начинающихся от 1, определяется по простой формуле:
∑ = 0,5 n × (n+1).
Расчет суммы натурального ряда
Для вычислений вам потребуется выбрать в меню калькулятора формулу натурального ряда n и ввести количество членов последовательности. Давайте вычислим сумму натурального ряда от 1 до 15. Указав n = 15, вы получите результат в виде самой последовательности:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
и суммы натурального ряда, равной 120.
Легко проверить корректность вычислений при помощи выше приведенной формулы. Для нашего примера результат сложения будет равен 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Все верно.
Последовательность квадратов
Квадратичная последовательность образуется из натуральной, путем возведения каждого члена в квадрат. Ряд квадратов формируется по закону n 2 , следовательно, n-ный член последовательности будет равняться n 2: первый - 1, второй - 2 2 = 4, третий - 3 2 = 9 и так далее. Результат суммирования начальных n элементов квадратичной последовательности вычисляется по закону:
∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.
При помощи этой формулы вы легко можете высчитать сумму квадратов от 1 до n для сколько угодно большого n. Очевидно, что эта последовательность также бесконечна и с ростом n будет расти и общее значение числового набора.
Расчет суммы квадратного ряда
В этом случае вам потребуется выбрать в меню программы закон квадратной последовательности n 2 , после чего выбрать значение n. Давайте рассчитаем сумму первых десяти членов последовательности (n= 10). Программа выдаст саму последовательность:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
а также сумму, равную 385.
Кубический ряд
Ряд кубов представляет собой последовательность натуральных чисел, возведенных в куб. Закон образования общего элемента последовательности записывается как n 3 . Таким образом, первый член ряда равен 1 3 = 1, второй - 2 3 = 8, третий - 3 3 = 27 и так далее. Сумма первых n элементов кубического ряда определяется по формуле:
∑ = (0,5 n × (n+1)) 2
Как и в предыдущих случаях, элементы числового пространства стремятся в бесконечность, и чем больше количество слагаемых, тем больше результат суммирования.
Расчет суммы кубического ряда
Для начала выберите в меню калькулятора закон кубического ряда n 3 и задайте любое значение n. Давайте определим сумму ряда из 13 членов. Калькулятор выдаст нам результат в виде последовательности:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197
и суммы соответствующего ей ряда, равного 8281.
Последовательность нечетных чисел
Множество натуральных чисел содержит подмножество нечетных элементов, то есть тех, которые не делятся на 2 без остатка. Последовательность нечетных чисел определяется выражением 2n - 1. Согласно закону, первый член последовательности будет равен 2×1 − 1 = 1, второй - 2×2 − 1 = 3, третий - 2×3 − 1 = 5 и так далее. Сумма начальных n элементов нечетного ряда вычисляется по простой формуле:
Рассмотрим пример.
Вычисление суммы нечетных чисел
Сначала выберете в меню программы закон образования нечетного ряда 2n−1, после чего введите n. Давайте узнаем первые 12 членов нечетной ряда и его сумму. Калькулятор мгновенно выдаст результат в виде набора чисел:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,
а также суммы нечетного ряда, который равен 144. И действительно, 12 2 = 144. Все верно.
Прямоугольные числа
Прямоугольные числа относятся к классу фигурных чисел, которые представляют собой класс числовых элементов, необходимых для построения геометрических фигур и тел. К примеру, чтобы построить треугольник необходимо 3, 6 или 10 точек, квадрат - 4, 9 или 16 точек, а для выкладывания тетраэдра потребуется 4, 10 или 20 шаров или кубов. Прямоугольники легко построить при помощи двух последовательных чисел, например, 1 и 2, 7 и 8, 56 и 57. Прямоугольные же числа выражаются в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Формула для общего члена ряда выглядит какn × (n+1). Первые десять элементов такого числового набора выглядят как:
2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…
С увеличением n растет и значение прямоугольных чисел, следовательно, сумма такого ряда также будет расти.
Обратная последовательность
Для прямоугольных чисел существует обратная последовательность, определяемая формулой 1 / (n × (n+1)). Числовой набор трансформируется в набор дробей и выглядит как:
1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…
Сумма ряда дробей определяется по формуле:
∑ = 1 - 1/(n+1).
Очевидно, что при увеличении количества элементов ряда значение дроби 1/(n+1) стремится к нулю, а результат сложения приближается к единице. Рассмотрим примеры.
Сумма прямоугольного и обратного ему ряда
Давайте рассчитаем значение прямоугольной последовательности для n = 20. Для этого выберете в меню онлайн-калькулятора закон задания общего члена числового набора n × (n+1) и укажите n. Программа выдаст мгновенный результат в виде 3080. Для вычислений обратного ряда измените закон на 1 / (n × (n+1)). Сумма обратных числовых элементов будет равна 0,952.
Ряд произведений трех последовательных чисел
Прямоугольный числовой набор можно изменить, добавив к нему еще один последовательный множитель. Следовательно, формула для вычисления n-ного члена набора преобразится в n × (n+1) × (n+2). Согласно этой формуле элементы ряда образуются в виде произведения трех последовательных чисел, например, 1 × 2 × 3 или 10 × 11 × 12. Первые десять элементов такого ряда выглядят как:
6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320
Это быстрорастущий числовой набор, а сумма соответствующего ряда при росте n уходит в бесконечность.
Обратная последовательность
Как и в предыдущем случае, мы можем обратить формулу n-ного члена и получить выражение 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Тогда набор целых значений преобразится в ряд дробей, в знаменателе которых будут стоять произведения трех последовательных чисел. Начало такого набора имеет следующий вид:
1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…
Сумма соответствующего ряда определяется по формуле:
∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).
Очевидно, что при росте количества элементов дробь 1 / ((n+1) × (n+2)) стремится к нулю, а сумма ряда приближается к значению 0,5 × 0,5 = 0,25. Рассмотрим примеры.
Ряд произведений трех последовательных чисел и обратный ему
Для работы с этим набором требуется выбрать закон определения общего элемента n × (n+1) × (n+2) и задать n, к примеру, 100. Калькулятор выдаст вам саму последовательность, а также значение результата сложения сотни чисел, равный 26 527 650. Если выбрать обратный закон 1 / (n × (n+1) × (n+2)), сумма ряда из 100 членов будет равна 0,250.
Заключение
Числовой ряд.
Среди числ. рядов выделяют знакопостоянные, знакочередующиеся, знакопеременные.
Частичной суммой ряда соответсв. номеру n наз. сумма n первых его слагаемых.
Частичная сумма.
Ряд a n наз. сходящимся, если последовательность частичных сумм для этого ряда имеет предел, т.е. если сущ-т число . Это число наз.суммой ряда.
38. Признаки сходимости ряда
Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение. наз-ют числовым рядом. При этом числа наз. членами ряда.
Числовой ряд часто записывают в виде. Теорема (необходимый признак сходимости ряда): если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.
Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.
Признак Даламбера - признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.
Если для числового
ряда
существует
такое числоq, что
0 Определение.
Частной
суммой числового ряда
называется
сумма.
Числовой ряд называется
сходящимся
,
если существует предел,
при этом
S
называется
суммой ряда.
Теорема
.
Числовой ряд сходится тогда и
только тогда, когда для любого существует
такое,
что для всехm,n
><. Доказательство
. Заметим, что
.
После этого утверждение превращается
в критерий
Коши сходимости последовательности
. Теорема
. Если ряд сходится,
то. Доказательство
. Из свойств пределов
следует, что .
Отсюда следует, что. Геометрический
ряд Обобщеный
гармонический ряд В
частности, при к=1 получаем гармонический
ряд Эталонные
ряды, т.е. разложения элементарных
функций, можно использовать для получения
рядов тех же функций, но сложного
аргумента. Пусть
функции Un(x),n∈N,
определены в области D. Выражение U
1
(x
)
+
U
2
(x
)
+… +
U
n
(x
)+…=
U
n
(x
),
где х
∈
D
,
наз.
функциональным
рядом.
Каждому значению x 0 ∈D
соответствует числовой ряд
U
n
(x
0
)
.
Этот ряд может быть сходящимся или
расходящимся. Если для x
0
∈
D
числовой ряд
U
n
(x
0
)
сходится, то говорят, чтo
функциональный ряд сходится в точке
x
0
,
и точку
x
0
наз.
точкой
сходимости
.Если
функциональный ряд сходится в каждой
точке x
∈
E
⊂
D
,
то этот ряд наз. сходящимся
на множестве Е
,
а множество Е
наз. областью сходимости ряда. Если
множество Е
пусто, то ряд расходится в каждой точке
множества D
. Областью сходимости
степенного ряда называется множество
всех значений переменной х, при которых
соответствующий числовой ряд сходится.
Ряд вида а 0
+ а 1
х + а 2
х 2
+ … а n
х n
+ … =
называетсястепенным
рядом,
а –
некот. числа, х – переменная. Коэффициентами
степенного
ряда называются числа а 0
, а 1
, … , а n . Формулой Тейлора
для функции f(x)
в окрестности точки х называется
многочлен Р n (х)
= f(х 0)
+Остаточным
членом формулы Тейлора
называется
последнее слагаемое в формуле Тейлора R n
(x)=
=f(x)
– P n
(x) Т.о., многочлен
Тейлора Р n (х)
служит приближением функции f(х).
Оценкой этого приближения служит
остаточный член формулы Тейлора R n (х). Формулой Маклорена
для функции f(х)
называется ее формула Тейлора при х 0
= 0: f(x)=
f(0)
+
где с – некоторая
точка из интервала (0, х). Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе. Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории. Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу: Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования: Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3). В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто: А 1 + а 2 + а 3 + а 4 + а 5 + … (до «плюс бесконечности). Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм: S 2 = а 1 + а 2 S 3 = а 1 + а 2 + а 3 S 4 = а 1 + а 2 + а 3 + а 4 Сумма числового ряда – это предел частичных сумм S n . Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся». Сначала найдем сумму числового ряда: Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда: Общий первый аргумент берем из формулы: i=3. Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу. Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон. Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре). Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула: Аргументы функции: Важные условия для работоспособности функции: Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями. Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область. Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула: S 1 = a (1 + x).
На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий: S 2 = a (1 + x) 2 ;
S 3 = a (1 + x) 2 и т.д.
Чтобы найти общую сумму: S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n
Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС(). Исходные параметры для учебной задачи: Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4) Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2) Результаты одинаковые, как и должно быть. Как заполнить аргументы функции БС(): Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда. В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами. Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу: В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее. Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль: Как мы считали – в строке формул. На основании полученных данных построим график функций. Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» - инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график: Сделаем задачу еще более "прикладной". В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму. Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6) Добавим полученные значения в график «Рост капитала». Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно. Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): S n = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.39. Теоремы о сходимости числовых рядов.
40. Эталонные ряды для установления сходимости
41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена
Сумма числового ряда
Функция РЯД.СУММ в Excel
Вычисление суммы ряда в Excel
Построение графика функций суммы числового ряда